学帮网在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为MN,设AP=X,（1）
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 17:39:58
在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),
如图,在三角形ABC中,角C=90度,AC=8,BC=6.P是AB边上的一个动点（异于A、B两点),过点P分别作AC、BC边的垂线,垂足为MN,设AP=X,
（1）当x= 时,矩形PMCN的周长是14；
（2）是否存在X的值,使得三角形PAM的面积、三角形PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等?请你说出你的判断,并加以说明
第一题很简单
当x=5时,矩形PMCN的周长是14
三角形ABC相似于三角形APM
AP/AB=MP/BC
X/10=MP/6
MP=3X/5
MC=7-3X/5
AM=AC-MC=8-(7-3X/5)=3X/5+1
AP^2=AM^2+MP^2
X^2=(3X/5+1)^2+(3X/5)^2
X^2=9X^2/25+6X/5+1+9X/25
X^2=18X^2/25+6X/5+1
7X^2/25-6X/5-1=0
7X^2-30X-25=0
(7X+5)(X-5)=0
X=5或X=-5/7(舍去）
第二题如图
（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$．
（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴$\frac{PM}{BC}=\frac{AP}{AB}，\frac{PN}{AC}=\frac...
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（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}+{BC}^{2}}=\sqrt{{8}^{2}+{6}^{2}}=10$．
（2）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴$\frac{PM}{BC}=\frac{AP}{AB}，\frac{PN}{AC}=\frac{BP}{AB}$
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x
∴PM=$\frac{BC?AP}{AB}=\frac{6}{10}x=\frac{3}{5}x$
PN=$\frac{AC?BP}{AB}=\frac{8}{10}（10-x）=\frac{4（10-x）}{5}$=8-$\frac{4x}{5}$
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（$\frac{3}{5}$x+8-$\frac{4}{5}$x）=14．
∴x=5．
（3）∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴AC∥PN．
∴∠A=∠NPB．
∴△AMP∽△PNB．
∴当P为AB中点，即AP=PB时，△AMP≌△PNB，
此时，S△AMP=S△PNB=$\frac{1}{2}AM?MP=\frac{1}{2}×4×3=6$，
而矩形PMCN面积=PM?MC=3×4=12，
∴不存在能使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN面积同时相等的x的值
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