学帮网设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝-1,a(n+1)＝Sn＋3n-1,n∈N*．（1）求数列{bn}的通项公式?(2)若bn=3^n+(-1)^(n-1) ·k·(an+3)(k为非零常数）,问是否存在整数k使得对任意n∈N*都有b（n+1）＞bn?若不存在,请
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/06 16:37:41
设数列{an}的前 项和为Sn．已知a1＝-1,a(n+1)＝Sn＋3n-1,n∈N*．（1）求数列{bn}的通项公式?
(2)若bn=3^n+(-1)^(n-1) ·k·(an+3)(k为非零常数）,问是否存在整数k使得对任意n∈N*都有b（n+1）＞bn?若不存在,请说明理由
第一小题是求an
(1)求 {an}的通项公式吧?这时还没有bn
a[n+1]=S[n]+3n-1
a[n]=S[n-1]+3(n-1)-1
a[n+1]-a[n]=a[n]+3
a[n+1]=2a[n]+3
a[n+1]+3=2(a[n]+3)
且 a[1]+3=-1+3=2
即 a[n]+3是以2为首项,2为公比的等比数列
所以 a[n]+3=2^n
a[n]=2^n-3
(2)
b[n]=3^n+(-1)^(n-1)*k*(a[n]+3)
=3^n+(-1)^(n-1)*k*2^n
=3^n-k*(-2)^n
令f(n)=b[n+1]-b[n]=3^(n+1)-3^n-k(-2)^(n+1)+k(-2)^n
=2*3^n+3k*(-1)^n*2^n
一、当k>0时
显然,当n为偶数时 f(n)>0
b[n+1]>b[n]是恒成立的
当n为奇数时
f(n)=2*3^n+3k*(-1)^n*2^n=2*3^n-3k*2^n
如果要 f(n)>0,必有
2*3^n-3k*2^n
=6(3^(n-1)-k*2^(n-1))>0
(3/2)^(n-1)>k
显然,当n=1时,k>0的整数是不存在的.
二、当k0
b[n+1]>b[n]是恒成立的
当n为偶数,且n>=2时
f(n)=2*3^n+3k*(-1)^n*2^n=2*3^n+3k*2^n
如果要 f(n)>0,必有
2*3^n+3k*2^n
=6(3^(n-1)+k*2^(n-1))>0
(3/2)^(n-1)>-k
这时,(3/2)^(n-1)是增函数,只要考虑 n=2时即可
n=2时,有k=-1存在
综上所述,存在整数k,且k=-1,使得对任意n∈N*都有b[n+1]>b[n]