导数练习题设函数f(x)=x^2-mlnx,h(x)=x^2-x+a.(1)当a=0时,f(x)≥h(x),在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;(2)当m=2是,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;(3)是否存在实
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/14 17:23:02
导数练习题
设函数f(x)=x^2-mlnx,h(x)=x^2-x+a.
(1)当a=0时,f(x)≥h(x),在(1,+∞)上恒成立,求实数m的取值范围;
(2)当m=2是,若函数k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有两个不同零点,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数m,使函数f(x)和函数h(x)在公共定义域上具有相同的单调性?若存在,求出m的值,若不存在,说明理由.
细细~
(1)
x^2-mlnx-x^2+x=x-mlnx≥0(x>1),
x≥mlnx,m≤x/lnx,令g(x)=x/lnx,g'(x)=(lnx-x*1/x)/(lnx)^2=(lnx-1)/(lnx)^2,取g'(x)=0,解得lnx=1,x=e,
因为g(x)在x∈(1,e)上单调递减,在x∈(e,+∞)上单调递增,所以在x=e处取得最小值,gmin(x)=g(e)=e,
所以有m≤e;
(2)
k(x)=-2lnx+x-a=0,设两零点为x1≥1,x2≤3,a=-2lnx1+x1=-2lnx2+x2;
设g(x1)=-2lnx1+x1,y(x2)=-2lnx2+x2,
g'(x1)=-2/x1+1,(x1≥1),得g(x1)≥g(2)=-2ln2+2;
y'(x2)=-2/x2+1,(x2≤3),得y(x2)≤y(3)=-2ln3+3;
所以有-2ln2+2≤a≤-2ln3+3
(3)
f'(x)=2x-m/x,
h'(x)=2x-1,
取f'(x)=0,得m=2x^2;x=√m/2,
取h'(x)=0,得x=1/2,
要满足f(x)和h(x)在公共定义域上具有相同的单调性,两函数极值点必相同,即
√m/2=1/2,所以m=1/2
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