数学题 a,b.c属于正实数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9a,b.c属于正实数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9 须详细解答

数学题 a,b.c属于正实数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9
a,b.c属于正实数,且a+b+c=1求证1/a+1/b+1/c大于等于9
须详细解答

1/a+1/b+1/c
=(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
=1+(b+c)/a+1(a+c)/b+1(a+b)/c
=3+b/c+c/b+a/c+c/a+a/b+b/a
>=3+2+2+2
=9
取等号时a=b=c=1/3

因为a+b+c=1,将该式代入1/a+1/b+1/c后可得b/a+c/a+a/b+c/b+a/c+b/c+3。
由于b/a+a/b大于等于2，c/a+a/c大于等于2，c/b+b/c大于等于2，三式相加等于6，所以等式得证。

a+b+c=1要用到一个数学公式转换成1/a+1/b+1/c的形式