二次函数 (12 12:55:46)已知f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,f(x)>=0恒成立,求实数a的取值范围

二次函数 (12 12:55:46)
已知f(x)=x^2+ax+3-a,当x属于[-2,2]时,f(x)>=0恒成立,求实数a的取值范围

f(x) 是开口向上的抛物线
以下两个条件,只要满足其中一个,则 f(x)≥0 得到满足
1） 如果f(x)与x轴无交点,即方程 f(x)=0无解或只有一个解
2） 若 f(x) = 0 有2个解,但是抛物线对称轴在 [-2,2]区间之外,且 f(-2) ≥0 和 f(2) ≥ 0 同时成立.
f(x) = x^2+ax+3-a = 0
判别式 a^2 - 4(3-a) = a^2 + 4a - 12 = (a + 6)(a -2)
因此当 -6 ≤ a ≤ 2 时,判别式 ≤ 0
f(x) = 0 最多有一个解.
开口向上的抛物线与x轴最多有一个交点（切点）,则对任意 x ,都有f(x)≥0恒成立.当然 也包括了x∈[-2,2] .
当 a < -6 以及 a > 2时,抛物线与x轴有2个交点.
f(x) = x^2 + 2 * (a/2) * x + (a/2)^2 - (a/2)^2 + 3 -a
= (x + a/2)^2 + ……
因此对称轴为 x = -a/2
若使对称轴不在 [-2,2] 区间,则
-a/2 < -2
或
-a/2 > 2
则 a > 4 或 a < -4
f(2) = 4 + 2a + 3 -a = a + 7
f(-2) = 4 - 2a + 3 - a = 7 - 3a
a + 7 ≥ 0
7 - 3a ≥ 0
-7 ≤ a ≤ 7/3
与 a >4 或 a < -4 取并集,则
-7 ≤ a < -4
这个结论是在 a < -6 或 a >2 前提下得出的.因此
-7 ≤ a < -6
综上所述 取 -7 ≤ a < -6 以及 -6 ≤ a ≤ 2 的并集.
当 -7 ≤ a ≤ 2 时,对于 x∈[-2,2],f(x)≥0 恒成立

f(x)=[x-(-a/2)]^2-a^2/4-a+3
最小值>=0即可
若对称轴在区间内
-2<=-a/2<=2
-4<=a<=4
则最小值=-a^2/4-a+3〉=0
a^2+4a-12<=0
(a-2)(a+6)<=0
-6<=a<=2
所以-4<=a<=2
若对称轴在区间左边
即-...

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f(x)=[x-(-a/2)]^2-a^2/4-a+3
最小值>=0即可
若对称轴在区间内
-2<=-a/2<=2
-4<=a<=4
则最小值=-a^2/4-a+3〉=0
a^2+4a-12<=0
(a-2)(a+6)<=0
-6<=a<=2
所以-4<=a<=2
若对称轴在区间左边
即-a/2<-2
a>4
则最小值=f(-2)=4-2a+3-a>=0
a<=7/3,不符合a>4
若对称轴在区间右边
即-a/2>2
a<-4
则最小值=f(2)=4+2a+3-a>=0
a>=-7
-7<=a<-4
综上
-7<=a<=2

参考:
f(x)=x^2+ax+3-a=(x+a/2)^2+3-a-a^2/4
x∈[-2,2]时,f(x)≥0恒成立
-a/2≥2,a≤-4时
f(2)=4+2a+3-a=7+a≥0,a≤-7
a≤-7
-a/2≤-2,a≥4时，
f(-2)=4-2a+3-a=7-3a≥0,a≤7/3
△=a^2-4(3-a)=a^2+4a-12=(a+6)(a-2)≤0
-6≤a≤2
所以，a的取值范围:[-7,2]

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这道题目要根据函数图像来讨论，过程如下：
[4(3-a)-a^2]/4<=0
或-a/2<=-2
f(-2)>=0
或-a/2>=2
f(2)>=0
解不等式去吧，还不懂加我百度好友

a大于7或小于-4

x^2+ax+3-a>=0，在[-2,2]时恒成立
x^2+3>=a(1-x)
1,x=1,4>=0,成立，a∈R
2,x∈[-2,1),a<=(x^2+3)/(1-x),令t=1-x,t∈(0,3],化简得a<=4/t+t-2,
当t=2时（钩子函数），a<=min=2
3,x∈(1,2],a>=(x^2+3)/(1-x),令t=1-x,t∈[-1,0),...

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x^2+ax+3-a>=0，在[-2,2]时恒成立
x^2+3>=a(1-x)
1,x=1,4>=0,成立，a∈R
2,x∈[-2,1),a<=(x^2+3)/(1-x),令t=1-x,t∈(0,3],化简得a<=4/t+t-2,
当t=2时（钩子函数），a<=min=2
3,x∈(1,2],a>=(x^2+3)/(1-x),令t=1-x,t∈[-1,0),a>=4/t+t-2
t∈(-2,0)单调减（钩子函数），a>=max=4/(-1)-1-2=-7
综上，-7<=a<=2

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