过椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A、B两点,若FA=2FB.则离心率为?

过椭圆左焦点F且倾斜角为60度的直线交椭圆于A、B两点,若FA=2FB.则离心率为?

（数形结合）设FB=x,则FA=2x.(1)由题设可知,在⊿AFF1(F1为右焦点）中,∠AFF1=60º,FA=x,FF1=2c.由余弦定理知|AF2|=√[4x²+4c²-4cx].再由|AF|+|AF1|=2a.===>2x+√[4x²+4c²-4cx]=2a.===>x=(a²-c²)/(2a-c).(2)由题设可知,在⊿BFF1中,∠BFF1=120º,BF=x,FF1=2c.由余弦定理知,|BF1|＝√[x²+4c²+2cx].再由|BF|+|BF1|=2a.===>x+√[x²+4c²+2cx]=2a.===>x=2(a²-c²)/(2a+c).综上知,2(a²-c²)/(2a+c)=(a²-c²)/(2a-c).===>2a=3c.===>e=c/a=2/3.===>e=2/3.