已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/05 20:39:20
已知AD是三角形ABC 的角平分线,求证AD2=AB*AC-BD*DC.不要用三角函数,可以用Ceva定理或Menelaus定理
证明:在△ABC中,延长AC到E,使CE=CD,则AE=AC+CD,∠AED=∠C/2.
在AB边上取点F,使BF=BD,则AF=AB-BD,∠BDF=∠BFD.
连结DE,DF.
在△AED与△ADF中,∠EAD=∠DAF=∠A/2; ①
∠BDF+∠BFD=180°-∠B=∠A+∠C,
即∠BFD=(∠A+∠C)/2
又 ∠BFD=∠ADF+∠A/2
∴∠ADF=∠BFD-∠A/2=(∠A+∠C)/2-∠A/2=∠C/2=∠AED;②
由①②得△AED~△ADF(两个角对应相等的两个三角形相似)
则 AE/AD=AD/AF
从而 AD^2=AE×AF=(AC+CD)(AB-BD)=AB*AC-AC*BD+AB*CD-BD*CD ③
另,过B作DA的平行线交CA延长线于G点
从而 BD/DC=BA/AG ④
∵∠AGB=∠CAD=∠DAB=ABG
∴AB=AG 代入④得 BD/DC=BA/AC
从而 AB*CD-AC*BD=0 ⑤
将⑤代入③ 得 AD^2=AB*AC+0-BD*CD
=AB*AC-BD*DC
斯特瓦尔特定理推论
延长AD交△ABC的外接圆于E,连接EC,在△ABD和△AEC中,∠ABD=∠AEC,∠BAD=∠EAC,所以△ABD∽△AEC,AB/AE=AD/AC,或AE*AD=AB*AC;其中AE*AD=(AD+DE)AD
=AD²+DE*AD,而在外接圆中DE*AD=BD*DC,于是AD²+BD*DC=AB*AC,就是
AD²=AB*AC-BD*DC。
ad是三角形abc的角平分线,且ad垂直bc,求证三角形abc是等腰三角形
如图AD是角EAC的平分线AD平行BC求证三角形ABC是等腰三角形.
已知:三角形ABC中,AD是角BAC的角平分线,DE//AC,DF//AB.求证:四边形AEDF是菱形
如图 已知AD是三角形ABC的内角平分线,求证AB/AC=BD/CD.
已知AD是三角形ABC的内角平分线.求证AC/AB=CD/DB.
已知AD是三角形ABC的内角平分线,求证AC/AB=CD/DB
已知:如图,ad、be、cf是等边三角形abc的角平分线 求证:三角形def是等边三角形
已知:如图,AD,BE,CF是等边三角形ABC的角平分线.求证:三角形DEF是等边三角形.
如图,已知:AD是三角形ABC的角平分线,DE,DF分别是三角形ABD,三角形ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
如图,已知:AD是三角形ABC的角平分线,DE,DF分别是三角形ABD,三角形ACD的高,求证:AD垂直平分EF.
已知:三角形ABC中,AD是角BAC的外角的角平分线.求证:DB+DC大于AB+AC.
ad是三角形abc的角平分线,求证ad=2bccos(A/2)/(b+c)
已知AD是三角形ABC中角BAC的角平分线,求证AB:AC=BD:DC
已知CE,AD是三角形ABC的角平分线,角B=60°,求证:AC=AE+CD
已知CE,AD是三角形ABC的角平分线,角B=60度,求证:AC=AE+CD
如图,已知AD是三角形ABC的角平分线,且AB大于AC.求证:AB-AC大于BD-DC
已知AD是三角形ABC的角平分线,AB大于AC求证AB减AC大于BD减DC
如图所示,已知AD是三角形ABC的角平分线,且AB>AC,求证:AB-AC>BD-DC