已知函数f(x)=2分之1x的平方-a1nx第一问,若f（x）在（0,正无穷）是单调递增函数,求a的取值范围第二问,若a>0；求f（x）的极值第三问,设e是自然对数底数,若0

已知函数f(x)=2分之1x的平方-a1nx
第一问,若f（x）在（0,正无穷）是单调递增函数,求a的取值范围
第二问,若a>0；求f（x）的极值
第三问,设e是自然对数底数,若0

易知 x>0.
f'(x)=x - a/x=(x²-a)/x,
(1)若f(x)在（0,+∞）增,则f'(x)>0,所以 x²-a>0,
即x²>a对x∈（0,+∞）恒成立,从而 a≤0
(2)若a>0,令 f'(x)=0,得 x²-a=0,由于x>0,所以 x= √a
当 00,f(x)是增函数,
所以 极小值为f(√a)=(a/2)(1-lna)
(3)若 0

f(x) = 1/2 x^2 - a lnx
零和负数无对数，定义域x＞0
f‘(x) = 1/2 * 2x - a/x = (x^2-a)/x
第一问：
∵f（x）在（0，正无穷）是单调递增函数
∴当x＞0时，(x^2-a)/x＞0，所以x^2-a＞0，∴a＜x^2，∴a≤0
即a∈（-∞，0】
第二问：
a>0
f‘(x)...

全部展开

f(x) = 1/2 x^2 - a lnx
零和负数无对数，定义域x＞0
f‘(x) = 1/2 * 2x - a/x = (x^2-a)/x
第一问：
∵f（x）在（0，正无穷）是单调递增函数
∴当x＞0时，(x^2-a)/x＞0，所以x^2-a＞0，∴a＜x^2，∴a≤0
即a∈（-∞，0】
第二问：
a>0
f‘(x) = (x^2-a)/x = (x+√a)(x-√a)/x
x∈（0，√a) 时，单调减；
x∈（√a+∞) 时，单调增。
x=√a时，极小值f(√a) = 1/2a - aln√a = 1/2a(1- ln a)
第三问：
∵a＞0时，f(x)的最小值f(√a) = 1/2a(1- ln a) = 1/2 ln(e/a)
∵0∴e/a＞1
最小值f(√a) = 1/2 ln(e/a)＞0
∴函数f（x）没有零点

收起

1.求导，x>=a/x在x>0恒成立，a<=0
2.极值点为x-a/x=0的点，即x=根a，极小值为a/2-lna/2a
3.a>1时，lna0
00
即f(x)恒正，没有零点