f(x)=(ax^2)/2-lnx(a>0),若函数f(x)无零点,则实数a的取值范围

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/30 12:54:54

f'(x)=ax-1/x=(ax^2-1)/x=a(x+1/√a)(x-1/√a)/x.
若00,f(x)递增.
所以,x=1/√a时,f(x)取得极小值(也是最小值)f(1/√a)=1/2+(1/2)lna.
若函数f(x)无零点,则f(1/√a)=1/2+(1/2)lna>0.
由以上不等式解得：a>1/e.
所以,实数a的取值范围是：(1/e,+无穷).

f'=ax-1/x=0, x>0, x=1/根号a，f''=a+1/x^2>0，故1/根号a是极小值点，因f(1)>0，故只需f(1/根号a)>0，即(a^2)/2-1/2>0, a>0，故a>1.

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