已知关于X的一元二次方程：X^2-kX+2k-3=0有两个实数根1）若两个根满足：一根大于1,一根小于1,求k的取值范围2）求方程的两个实数根的平方和的最小值,并写出此时k的值

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/06 00:31:41

已知关于X的一元二次方程：X^2-kX+2k-3=0有两个实数根
1）若两个根满足：一根大于1,一根小于1,求k的取值范围
2）求方程的两个实数根的平方和的最小值,并写出此时k的值

令f(x)=x^2-kx+2k-3
结合函数图像可知：若两个根满足一根大于1,一根小于1,那么必须f（1）

(1)令f(x)=X^2-kX+2k-3
因为方程X^2-kX+2k-3=0的一根比1小，一根比1大
所以函数图象与x轴的交点分布在x=1的两侧
所以有，f(1)<0
1-k+2k-3<0
k<2

1）看成二次函数 f(x)=x2-kx+2k-3=0
由图像知，开口向上的抛物线一个交点在（1，0）右侧，一个在它左侧
所以，f(1)＜0
即1-k+2k-3＜0
k＜2
2）由韦达定理，x1+x2=k........1
x1*x2=2k-3.........

全部展开

1）看成二次函数 f(x)=x2-kx+2k-3=0
由图像知，开口向上的抛物线一个交点在（1，0）右侧，一个在它左侧
所以，f(1)＜0
即1-k+2k-3＜0
k＜2
2）由韦达定理，x1+x2=k........1
x1*x2=2k-3......2
1式平方-2式*2 得，k2-4k+6
=(k-2)2+2≥2
又因为Δ=k2-8k+12≥0
解得k≤2 或k≥6
故当 k=2时，最小值2

收起

1)当x=1时，x^2-kx+2k-3<0,
即1-k+2k-3<0,k<2
由判别式>0,得k^2-4(2k-3)>0,
得k<2,k>6
所以k<2,
2)x1^2+x2^2
=(x1+x2)^2-2x1x2
=k^2+2(2k-3)
=k^2+4k-6
=(k+2)^2-10
当k=-2,最小值-10

△=k²-8k+12＞0
x1+x2=k，x1x2=2k-3
（x1-1）（x2-1）＜0
x1x2-（x1+x2）+1＜0
2k-3-k+1＜0
k＜2时△＞0所以k＜2
（2）x1²+x2²
=（x1+x2）²-2x1x2
=k²-4k+6
=（k-2）²+2
k=2时最小最小值为2

（1）设x1，x2为方程的两个根，有
x1={k+√[k^2-4(2k-3)]}/2={k+√[k^2-8k+12]}/2;
x2={k-√[k^2-4(2k-3)]}/2={k-√[k^2-8k+12]}/2.其中k^2-8k+12>0
由方程一根大于1，一根小于1，有x1>1，x2<1或x1<1，x2>1。
算出即可。
（2）x1^2+x2^2=