已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E 四点共面;
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/04 04:52:52
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:(1)D、B、F、E
已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别为C1D1,B1C1的中点,AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,求证:
(1)D、B、F、E 四点共面;
(2)若A1C交平面DBFE于R点.则P、Q、R三点共线
第一个问题:
∵E、F分别是C1D1、B1C1的中点,∴EF是△B1C1D1的中位线,∴EF∥D1B1.
∵ABCD-A1B1C1D1是立方体,∴BB1∥DD1、BB1=DD1,∴BB1D1D是平行四边形,
∴DB∥DB1,结合证得的EF∥D1B1,得:EF∥DB,∴D、B、F、E共面.
第二个问题:
∵AC∩BD=P、A1C1∩EF=Q,∴EF是平面AA1C1C和平面DBFE的交线.
∵A1C交平面DBFE于R点,∴R是EF是平面AA1C1C和平面DBFE的一个公共点.
∵两相交平面的所有公共点都在这两平面的交线上,∴P、Q、R三点共线.
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