如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小（1）求∠ADE的度数（2）在BD上画出点P的位置,并写出作法（3）求△PCE周长的最小值

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/03 23:03:18

如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=120,点E是BC的中点,点P为BD上一点,且△PCE的周长最小
（1）求∠ADE的度数
（2）在BD上画出点P的位置,并写出作法
（3）求△PCE周长的最小值

⑴、∵∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60°
∴△ADB与△DCB都是等边△﹙有一个角=60°的等腰△是等边△﹚
而DE是等边△DCB的中线,
∴DE⊥BC,∴∠BDE=30°
∴∠ADE=90°
⑵、连接AC,AE,则AE与DB相交于P点,
这时候的P点,使△PCE的周长最小；
证明：连接CP,
∵AC与DB互相垂直平分,
∴PA=PC,
∴△PCE的周长=PC＋PE＋CE=PA＋PE＋CE=AE＋CE
∵CE是定值,
∴由两点之间,线段最短公理得到PC＋PE=AE.
⑶、∵∠CDE=30°
∴∠ADE=120°－30°=90°
∴由勾股定理得：DE=2√3
再由勾股定理得：AE²=AD²＋DE²=28
∴AE=2√7
∴△PCE的最小周长=2＋2√7

全部展开

1、∵ABCD是菱形，∠ABC=120°
∴∠A=∠C=60° AB=BC=CD=AD
∠ABC=∠ADC=120°
∴△ABD和△BCD是等边三角形
∴∠C=∠BDC=60°
∵E是BC的中点，即DE是△BCD的中线
∴DE也∠BDC的角平分线
∴∠EDC=∠BDE=30°
∴∠ADE=∠ADC-∠EDC=120°-30°=90°
2、以BD为对称轴，做E的对称点E′，连接E′C,交BD于P，
连接PE,PC，△PCE的周长最小。
3、由于E点和E′对称（EE′交BD于O)
∴EE′⊥BD 即∠BOE′=∠BOE=90°
∵EO=E′O OB=OB
∴△BOE≌△BOE′
∴∠OBE′=∠OBE BE=BE′
∵∠OBE=∠ABO
∴E′在AB直线上 BE=BE′=EC=1/2AB=1
由余弦定理得
E′C²=BC²+BE′²-2BC×BE′×cos∠ABC
=4+1-2×2×1×(-1/2)
=5+2
=7
∴E′C=√7
∴△PCE的周长
=EC+PE+PC
=EC+E′C
=1+√7

收起

如图,菱形ABCD的周长为8cm,∠ABC=2∠BAD.(1)求菱形ABCD的边长(2)求菱形ABCD的对角线AC.BD的长,(3)求菱形ABCD的面积如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点A的坐标为如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标为（）如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=45°,则点D的坐标—— 如图,边长为2的菱形ABCD中【要过程】如图,菱形ABCD的边长为√2,∠ABC=45°,则点D的坐标为如图,在四棱锥o-abcd中,底面abcd是边长为一的菱形,abc=45 如图,四边形ABCD是菱形,边长为2cm,∠BAD=60°,求菱形ABCD的两条对角线如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,E、F分别为AD、CD的中点,则向量BE·BF=? 如图,菱形ABCD的边长为1,∠ABC=60°,E、F分别为AD、CD的中点,则向量BE·BF=? 如图,菱形abcd的边长为1,∠ABC=60,E、F分别为AD、CD的中点,则向量BE点乘向量BF=? 如图,菱形ABCD的边长为20cm,∠ABC=120°.动点P、Q同时从点A出发如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,则图中阴影部分的面积是如图,菱形ABCD和菱形ECGF的边长分别为2和3,∠A=120°,求阴影的面积如图,将菱形纸片ABCD折叠,使点A恰好落在菱形的对称中心O处,折痕为EF,若菱形ABCD的边长为2CM,∠A=120°,则EF=多少CM 如图,菱形ABCD的边长为4,∠BAD=π/3,O为线段AC的中点,将菱形ABCD沿对角线AC折起得到三棱锥如图,菱形ABCD中,角ABC=2角C,BD=10cm,则菱形的周长为如图,四边形ABCD是菱形,边长为2cm,角BAD=60度,求菱形ABCD的两条对角线的长度以及它的面积.