已知正数x,y满足x²+y²=1,则xy/x+y的最大值

已知正数x,y满足x²+y²=1,则xy/x+y的最大值

xy/(x+y)=1/(1/y+1/x)
∵x>0,y>0
∴1/x+1/y≥2√(1/x*1/y)=2/√(xy)
当且仅当1/x=1/y即x=y时取等号
∴1/(1/y+1/x)≤√(xy)/2
又1=x²+y²≥2xy
∴xy≤1/2
当且仅当x=y时取等号
∴√(xy)≤√2/4
∴√(xy)/2≤√2/4
∴xy/(x+y)≤√2/4
即当x=y时,xy/(x+y)取得最大值√2/4

根据均值不等式，调和平均数≤平方平均数
二元形式为2xy/(x+y)≤√[（x²+y²）/2]=√2/2
则 xy/(x+y)≤√2/4，最大值为√2/4，当且仅当x=y=√2/2
你把二元形式的完整的均值不等式记住了之后，你会发现很有用，做题可以直接套公式，二元形式的均值不等式完整版为
2xy/(x+y)≤√...

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根据均值不等式，调和平均数≤平方平均数
二元形式为2xy/(x+y)≤√[（x²+y²）/2]=√2/2
则 xy/(x+y)≤√2/4，最大值为√2/4，当且仅当x=y=√2/2
你把二元形式的完整的均值不等式记住了之后，你会发现很有用，做题可以直接套公式，二元形式的均值不等式完整版为
2xy/(x+y)≤√xy≤(x+y)/2≤√[（x²+y²）/2]

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