如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．（1）求证：∠DCP=∠DAP；（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,①求证：PA=1/2PB②求对角线BD的长

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 02:44:05


如图,点P是菱形ABCD的对角线BD上一点,连接CP并延长,交AD于E,交BA的延长线于F．
（1）求证：∠DCP=∠DAP；

（2）若AB=2,DP：PB=1：2,且PA⊥BF,
①求证：PA=1/2PB
②求对角线BD的长

1、证明：
∵菱形ABCD
∴AD＝CD,∠ADB＝∠CDB
∵DP＝DP
∴△ADP≌△CDP （SAS）
∴∠DCP＝∠DAP
2、
1）证明：连接DF、AC,AC交BD于O
∵AB∥CD
∴CD/BF＝DP/PB
∵DP：PB＝1：2
∴CD/BF＝1/2
∴BF＝2CD
∵菱形ABCD
∴AB＝AD＝CD＝BC
∴AF＝AB＝AD
又∵AB∥CD
∴∠CDA＝∠FAD,∠DCF＝∠F
∴△AEF≌△DEC （ASA）
∴AE＝DE,CE＝EF
∵PA⊥BF
∴∠DAP+∠FAD＝90
∴∠DCP+∠CDA＝90
∴∠CED＝90
∴AD、CF互相垂直平分
∴菱形ACDF
∴AC＝AF
∴AC＝AB
∴等边△ABC
∴∠ABC＝60
∴∠ABD＝∠ABC/2＝30
∴PA＝PB/2
2）
∵菱形ABCD
∴AC⊥BD,BD＝2BO
∵∠ABD＝30,AB＝2
∴BO＝AB×√3/2＝2×√3/2＝√3
∴BD＝2BO＝2√3

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