直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点 C1M垂直面A1ABB1 求证(1) A1B垂直AM（2）平面AMC1／／平面NB1C（3）求A1B与B1C所成的角

来源：学生作业学帮网编辑：学帮网时间：2024/05/03 13:44:59

直三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1=A1C1,AC1垂直A1B,M,N分别是A1B1,AB的中点 C1M垂直面A1ABB1
求证(1) A1B垂直AM
（2）平面AMC1／／平面NB1C
（3）求A1B与B1C所成的角

1、∵C1M⊥平面A1ABB1,
A1B∈平面AA1B1B,
∴C1M⊥A1B,
∵AC1⊥A1B,（已知）,
C1M∩AC1=C1,
∴A1B⊥平面AC1M,
∵AM∈平面AC1M,
∴A1B⊥AM.
2、∵M、N分别是A1B1和AB的中点,
A1B1=AB,A1B1//AB,
∴MB1//AN,MB1=AN,
∴四边形ANB1M是平行四边形,
∴B1N//AM,
∵四边形ANMA1是平行四边形,
∴MN//AA1,MN=AA1,
∵AA1//CC1,AA1=CC1,
∴MN=CC1,MN//CC1,
∴四边形MNCC1是平行四边形,
∴C1M//CN,
∵C1M∩AM=M,CN∩NB=N,
∴平面AMC1//平面NB1C.
3、由前所述,A1B⊥平面AMC1,
而平面NB1C//平面AMC1,
则A1B⊥平面NB1C,
B1C∈平面NB1C,
∴A1B⊥B1C,即A1B和B1C所成角为90度.

证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥...

全部展开

证明（1）∵M，N分别为A1B1，AB中点，
∴B1M∥NA且B1M=NA，
∴四边形B1NAM是平行四边形
∴B1N∥AM
又∵AM⊂平面AMC，B1N⊄平面AMC1，
∴B1N∥平面AMC1
连接MN，
∵矩形BB1A1A中，M、N分别是A1B1、AB的中点
∴BB1∥MN且BB1=MN
∵BB1∥CC1且BB1=CC1
∴四边形CC1MN是平行四边形，
∴MC1∥CN，
∵MC1⊂平面AMC，CN⊄平面AMC1，
∴CN∥平面AMC1，
∵CN⊂平面B1CN，B1N⊂平面B1CN，CN∩B1N=N，
∴平面B1CN∥平面AMC1；
（2）∵三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，
BB1⊥平面A1B1C1，C1M⊂平面A1B1C1
∴C1M⊥BB1
又∵B1C1=A1C1，M为A1B1中点，
∴C1M⊥A1B1，
∵A1B1∩BB1=B1，A1B1、BB1⊂平面AA1B1B
∴C1M⊥平面AA1B1B，
∵A1B⊂平面AA1B1B，
∴C1M⊥A1B，
又∵AC1⊥A1B，C1M∩AC1=C1，C1M、AC1⊂平面AC1M，
∴A1B⊥平面AC1M，
∵AM⊂平面AC1M，
∴A1B⊥AM．

收起