学帮网已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0存在非零常数c,使f(c/2)=0,f(x)是不是周期函数?
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/26 19:18:46
已知定义域在R上的函数f(x)对任意实数x,y,恒有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)不等于0
存在非零常数c,使f(c/2)=0,f(x)是不是周期函数?
y=c/2时
f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)
因f(c/2)=0
所以f(x+c/2)=-f(x-c/2)
即f(x)=-f(x-c)=f(x-2c)
所以f(x)是周期为2c的周期函数
y = 0,则f(0) = 1
x = 0 ,则f(y)+f(-y)=2f(y) => f(y) = f(-y),偶函数
y = c/2,则f(x+c/2)+f(x-c/2) = 0 ，set z = x-c/2 => x = z+c/2
=>f(z+c)+f(z) = 0;
所以不是周期函数
令y=c/2，则f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)=0,
即f(x+c/2)+f(x-c/2)=0 （1）
由式（1）得，f(x+c+c/2)+f(x+c-c/2)=0
即f(x+3c/2)+f(x+c/2)=0 （2）
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令y=c/2，则f(x+c/2)+f(x-c/2)=2f(x)f(c/2)=0,
即f(x+c/2)+f(x-c/2)=0 （1）
由式（1）得，f(x+c+c/2)+f(x+c-c/2)=0
即f(x+3c/2)+f(x+c/2)=0 （2）
（2）- (1)得f(x+3c/2)=f(x-c/2)，即f(x+2c)=f(x)。
所以f（x）是周期为2c函数。
以后有什么问题，直接联系。
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存在非零常数c，使f(c/2)=0是条件还是要证明的？