【导数问题】已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.(1)若函数f(x)在x=-2时有极值,求f(x
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/16 14:35:40
【导数问题】已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
已知函数f(x)=-x^3+ax^2+bx+c图像上的一点p(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.
(1)若函数f(x)在x=-2时有极值,求f(x)的表达式
(2)函数f(x)在区间【-2,0】上单调递增,求实数b的取值范围.
f(x)=-x^3+ax^2+bx+c的导函数:f'(x)=-3x²+2ax+b
点p(1,-2)处的切线方程为y=-3x+1.所以f'(1)=-3 => 2a+b=0 ①
点p(1,-2)满足f(x)解析式即f(1)=-2 => -1+a+b+c=-2 => a+b+c=-1 ②
(1)若函数f(x)在x=-2时有极值,则f'(-2)=0 => -12-4a+b=0 ③
①②③联立解得:a=-2,b=4,c=-3
f(x)表达式为f(x)=-x^3-2x²+4x-3
(2)由于2a+b=0,所以f'(x)=-3x²+2ax+b=-3x²-bx+b
函数f(x)在区间【-2,0】上单调递增,说明f'(x)在此区间大于零
即:f'(-2)=-12+2b+b>0 =>b>4
且f'(0)=b>0
所以实数b的取值范围是(4,+∞)
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