若ab+bc+ca=a²+b²+c²求证a=b=c

若ab+bc+ca=a²+b²+c²求证a=b=c

∵ab+bc+ca=a²+b²+c²
两边乘以2,移项
∴2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ca-0
(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²+a²-2ca)=0
∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0
3项均为非负值,和为0,则三项均是0
∴a-b=b-c=c-a=0
∴a=b=c

ab+bc+ca=a²+b²+c² 2(ab+bc+ca)=2(a²+b²+c²)
a²-2ab+b²+a²-2ac+c²+b² -2bc+c²=0
(a-b)²+(a-c)²+(b-c)²=0
a=b=c