求函数f(x)=2(sinx+cosx)+sin2x-1的值域

求函数f(x)=2(sinx+cosx)+sin2x-1的值域

f(x)=2(sinx+cosx)+sin2x-1
=2√(sin2x+1)+(sin2x+1)-2
=[√(sin2x+1)+1]²-3
∵0≤sin2x+1≤2
∴0≤√(sin2x+1)≤√2
∴1≤√(sin2x+1)+1≤√2+1
∴1≤[√(sin2x+1)+1]²≤3+2√2
-2≤[√(sin2x+1)+1]²-3≤2√2
∴f(x)∈[-2,2√2]