已知,在三角形ABC中,AC=1/2AB,射线AP平分角BAC,且BP=AP.(1)若P在BC上,求证PC垂直AC。(2)若P不在BC上,(1)的结论是否成立?(3)当角BAC,变化,是否可以使角BPC成为直角,若能,请求出角BAC。若
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/16 11:43:36
已知,在三角形ABC中,AC=1/2AB,射线AP平分角BAC,且BP=AP.
(1)若P在BC上,求证PC垂直AC。
(2)若P不在BC上,(1)的结论是否成立?
(3)当角BAC,变化,是否可以使角BPC成为直角,若能,请求出角BAC。若不能则说明理由。(P点可能在BC上,也可能在BC外)。
解1:如图1 作PE垂直于AB于点E,即∠AEP=90°
因为射线AP平分∠BAC,即∠1=∠2
因为 BP=AP,PE⊥AB ,根据等腰三角形的三线合一的性质得:AE=1/2AB=AC
又因为AP公共
所以⊿ACP≌ ⊿AEP(SAS)
所以 ∠ACP=∠AEP=90°
所以PC垂直AC.
解2:如图2:若P不在BC上,(1)的结论仍然成立.
作PE垂直于AB于点E,即∠AEP=90°
同理(1)证明过程,结论仍然成立.
解3:存在可以使角BPC成为直角.
根据第2问的证明,⊿ACP≌ ⊿AEP,所以∠1=∠2 ∠3=∠4
因为BP=AP,PE⊥AB ,根据等腰三角形的三线合一的性质得∠4=∠5
所以∠3=∠4=∠5
因为,∠BPC=90度,所以∠3=30度,即∠1=90-30=60(度)
∠BAC=120度
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