如果函数y=a^(2x)+2a^(x)-1(a>0,且a不等于1)在区间【-1,1】上的最大值是14,求a的值

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/22 13:13:11

如果函数y=a^(2x)+2a^(x)-1(a>0,且a不等于1)在区间【-1,1】上的最大值是14,求a的值

令a^x=t,则:t>0
则:y=t²+2t-1
y(max)=14
即:t²+2t-1=14
t²+2t-15=0
(t+5)(t-3)=0
t1=-5(舍),t2=3
即:y在t=3时,取得最大值
也就是y=a^(2x)+2a^(x)-1在a^x=3时取得最大值
又x属于[-1,1]
易得:a=1/3或a=3

y=a^(2x)+2a^(x)-1=(a^x)^2+2a^x-1=(a^x+1)^2-2
a^x为单调函数,在区间[-1,1]上的最大取值是a^(1)=a或a^(-1)=1/a
由y=14得a^x+1=4 (a^x>0) a^x=3
所以a=3
或 1/a=3 a=1/3

可以把a^x当做一个整体,设为t,y=t^2+2t-1,因为t=a^x是个指数函数。
当a>1时,t=a^x单调递增。t∈[1/a,a]
y=(t+1)^2-2,对称轴是t=-1,但实际上t是大于0的数,所以,t在[1/a,a]上单调递增,最大值在t=a时取
a^+2a-1=14 解得a=-5或a=3,因为a>1,所以a=-5舍掉,a=3.
当0<a<1时,t=...

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可以把a^x当做一个整体,设为t,y=t^2+2t-1,因为t=a^x是个指数函数。
当a>1时,t=a^x单调递增。t∈[1/a,a]
y=(t+1)^2-2,对称轴是t=-1,但实际上t是大于0的数,所以,t在[1/a,a]上单调递增,最大值在t=a时取
a^+2a-1=14 解得a=-5或a=3,因为a>1,所以a=-5舍掉,a=3.
当0<a<1时,t=a^x单调递减。t∈[a,1/a]
这时,y=t^2+2t-1的最大值在t=1/a时取,
1/a^2+2/a-1=14,解出来的结果留下正数解a=1/3.
综上所述,a=3或a=1/3
不知道解得对不对。

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