已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a不=0)满足条件f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根,已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a不=0)满足条件f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/18 19:12:58

已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a不=0)满足条件f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根,
已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a不=0)满足条件f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有等根,
求f(x)的解析式

∵f(x)=ax²+bx,f(x-1)=f(3-x)
∴对称轴为x=1
即-b/2a=1,b=-2a
又∵f(x)=2x有等根,即ax²+bx-2x=0
⊿=(b-2)²=0 ∴b=2 ,a=-1
函数解析式为f(x)=-x²+2x


∵f(x-1)=f(3-x)
∴a(x-1)²+b(x-1)=a(3-x)²+b(3-x)对任意x恒成立
整理即2(x-2)(2a+b)=0对任意x恒成立
∴2a+b=0
f(x)=2x有等根即ax²+bx=2x有等根
整理即ax²+(b-2)x=0有等根
Δ=(b-2)²-4a·0=0
得b=2,∴a=-1
∴f(x)=-x²+2x