limx趋于0 ((1+x)^(1/x)-e)/x 求该式的极限

limx趋于0 ((1+x)^(1/x)-e)/x 求该式的极限

原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x
=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x
=lim e(ln(1+x)/x -1)/x
=e lim (ln(1+x)-x)/x²
=e lim (1/(1+x)-1) / 2x
=e lim -x/(2x(1+x))
=-e/2

由泰勒展式知 ln[ (1+x)^(1/x) ]=ln(1+x)/x~(x-x^2/2)/x=1-x/2~1+ln(1-x/2)=ln[e(1-x/2)] (x->0)
∴ (1+x)^(1/x)~e(1-x/2), ∴((1+x)^(1/x)-e)/x~[ e(1-x/2)-e ]/x=-e/2 ∴ lim((1+x)^(1/x)-e)/x=-e/2.