已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/30 05:05:29
已知二次函数y=ax^2+bx+c图像过点(-1,0),问是否存在常数a,b,c,使得x≤f(x)≤(1+x²)对一切实数成立?
函数f(x)=ax2+bx+c的图像过点 (-1,0)
即:a-b+c=0
b=a+c
而x≤f(x)≤(1+x2)/2
即:x≤ax2+bx+c≤(1+x2)/2
ax2+(b-1)x+c≥0 ①
(a-1/2)x2+bx+c-1/2≤0 ②
要使①恒成立,则要:
a>0
(b-1)2-4ac≤0
要使②恒成立,则要:
a-1/2
令x=1,则1<=f(1)<=1,所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得:a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x都成立,即(1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
(1)1/2-a=0 显然不成立
(2)f(x)为二次函...
全部展开
令x=1,则1<=f(1)<=1,所以f(1)=1 又f(-1)=0
代入得:a+b+c=1 a-b+c=0
所以 a+c=1/2 b=1/2
所以f(x)=ax^2+1/2x+1/2-a
f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x都成立,即(1/2-a)x^2-1/2x+a>=0恒成立
(1)1/2-a=0 显然不成立
(2)f(x)为二次函数,恒大于0,只有二次项系数大于0,且判别式<=0
即1/2-a>0 且判别式=(4a-1)^2<=0
那么必须a=1/4
那么c=1/4
将验证a=1/4 b=1/2 c=1/4
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