已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值

来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/05/07 12:18:21

已知定点A(0,1),B(0,-1),C(1,0),动点P满足:向量AP*向量BP=k|向量PC|^2
(1)求动点P的轨迹方程,并说明方程表示的曲线类型
(2)当k=2时,求|2向量AP+向量BP|的最大,最小值

为了方便明了,向量符号均省略.
(1)由A(0,1),B(0,-1),C(1,0),设P（x,y）
则向量OP(x,y);
AP（x-1,y）；
BP（x+1,y）；
PC（1-x,-y）；
由AP*BP=k|PC|^2,代入得：
（x+1)(x-1)+y^2=k[(1-x)^2+(-y)^2];
解得：k=1；x=1；
代入得P（1,y）
即所求点P轨迹为直线x=1；
（2）由（1）中AP（x-1,y）；BP（x+1,y）；
代入|2AP+BP|得：
|2AP+BP|=|(3x-1,3y)|=[（3x-1）^2+9y^2]^(1/2)
由k=2时,代入（1）中的AP*BP=k|PC|^2,得：
（x-2）^2+y^2=1;
将其代进上式得：
|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2)
由于（x-2）^2+y^2=1;几何意义为圆心为（2,0）,半径R=1的圆,则其x的取值范围为[1,3];
分别将x=1和x=3代进|2AP+BP|=(30x-26)^(1/2),得：
max=8；
min=2；
得解.

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