在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.求证:BD=2CE.
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/23 23:24:18
在rt三角形abc中,∠A=90°,AB=AC,∠ABC的平分线交AC于点D,从C点向BD的延长线作垂线,垂足为E.
求证:BD=2CE.
延长CE并交BA延长线于F
∵BE⊥CF ∠CBE=∠FBE
∴∠BCE=∠F
∴BC=BF
∴CF=2CE
∵∠ABD+∠ADB=90° ∠DCE+∠CDE=90° ∠ADB=∠CDE
∴∠ABD=∠DCE
∵∠BAD=∠CAF=90° AB=AC
∴△ABD≌△ACF
∴BD=CF
∴BD=2CE
∵∠A=90°,AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
设∠ABD= ∠CBD=α=45°/2,AB=b,BC=√2b
∵∠ADB =∠CDE,∠A=∠BEC=90°
∴△ABD相似△CDE
∴∠ABD=∠DCE=α=45°/2
∵BD=AB/cosα,CE=BCsinα
∴BD/C...
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∵∠A=90°,AB=AC
∴△ABC是等腰直角三角形
∵AD平分∠ABC
∴∠ABD= ∠CBD
设∠ABD= ∠CBD=α=45°/2,AB=b,BC=√2b
∵∠ADB =∠CDE,∠A=∠BEC=90°
∴△ABD相似△CDE
∴∠ABD=∠DCE=α=45°/2
∵BD=AB/cosα,CE=BCsinα
∴BD/CE=(b/cosα)/(√2bsinα)=√2/(2sinαcosα)=√2/sinα45°
∴BD=2CE
收起
证明:∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC,
又BE=BE,
∴△BFE≌△BCE,
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90o,
∴∠FAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°...
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证明:∵∠ABC的平分线交AC于D,
∴∠FBE=∠CBE,
∵BE⊥CF,
∴∠BEF=∠BEC,
又BE=BE,
∴△BFE≌△BCE,
∴CE=EF,
∴CF=2CE,
∵∠BAC=90o,
∴∠FAC=90°,∠ABC=∠ACB=45°,
∴∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠F=∠ADB=67.5°,
又AB=AC,
∴△ABD≌△ACF,
∴BD=CF,
∴BD=2CE.
收起
∵CD⊥AB,AC⊥AB
∴∠ECD=∠ABD
又∵∠CDE=∠ADB
∴△ECD是△DBA相似三角形的对称三角形。(注意不是相似三角形)
∴BD/CD=CE/AB
∴BD/CE=CD/AB=0.5/1=0.5
如图所示:
延长CE,BA交于点F;
∵BF=BF,∠AEF=∠AEC,∠FBE=CBE(BE是角平分线)
∴△BEF≌△BCE,即E是CF中点;
∵∠BAD=DEC,∠ADB=EDC,
∴∠ECD=ABD;
又∵∠BAC=CAF=90,AB=AC;
∴△ABD≌△AFC,即BD=CF,
则BD=2CE
延长CE、BA交于点F。
∵BE=BE,∠BEF=∠BEC,∠FBE=CBE(BE是角平分线)
∴△BEF全等于△BCE,即E是CF的中点。
∵∠BAD=DEC,∠ADB=EDC,
∴∠ECD=ABD。
又∵∠BAC=CAF=90°,AB=AC;
∴△ABD全等于△AFC,即BD=CF,
∴BD=2CE(E是CF的中点)
延长CE交BA的延长线于F,
对于△BEC与△BEF,∠BEC=∠BEF=90°,∠EBC=∠EBF=45°/2,
BE是共用直角边,所以△BEC≌△BEF,得CE=EF,CF=2CE;
对于△BAD与△CAF,两者都是直角三角形,且BA=CA,
∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠EDC=∠ACF,
所以△BAD≌△CAF,得BD=CF=2CE。...
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延长CE交BA的延长线于F,
对于△BEC与△BEF,∠BEC=∠BEF=90°,∠EBC=∠EBF=45°/2,
BE是共用直角边,所以△BEC≌△BEF,得CE=EF,CF=2CE;
对于△BAD与△CAF,两者都是直角三角形,且BA=CA,
∠ABD=90°-∠ADB=90°-∠EDC=∠ACF,
所以△BAD≌△CAF,得BD=CF=2CE。
收起
证明:延长CE与BA的延长线交于点F
因为BE⊥CF
所以∠BEC=∠BEF
另 BE=BE,∠EBF=∠EBC
所以△BEC≌△BEF
所以CE=EF
∠ABD+∠BDA=90度,且∠ECD+∠EDC=90度,∠ABD=+∠EDC
所以:∠ABD=∠ECD=∠ACF
AB=AC,且∠BAD=∠CAF
所以:△BAD≌△CAF...
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证明:延长CE与BA的延长线交于点F
因为BE⊥CF
所以∠BEC=∠BEF
另 BE=BE,∠EBF=∠EBC
所以△BEC≌△BEF
所以CE=EF
∠ABD+∠BDA=90度,且∠ECD+∠EDC=90度,∠ABD=+∠EDC
所以:∠ABD=∠ECD=∠ACF
AB=AC,且∠BAD=∠CAF
所以:△BAD≌△CAF
所以:BD=CF=2CE
收起
证明:延长CE到F,使CE=EF,连接FA,EA。
由于:∠CEB=∠CAB=90°
所以:A,B,C,E四点共圆
而:∠CBE=∠ABE
所以:CE=AE=EF
所以:A,C,F在以E为圆心,AE为半径的圆上,且CF是直径。
所以:∠FAC=∠DAB=90°
又因为:AC=AB,∠ACF=∠ABD
所以:RT△ACF≌RT△ABD<...
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证明:延长CE到F,使CE=EF,连接FA,EA。
由于:∠CEB=∠CAB=90°
所以:A,B,C,E四点共圆
而:∠CBE=∠ABE
所以:CE=AE=EF
所以:A,C,F在以E为圆心,AE为半径的圆上,且CF是直径。
所以:∠FAC=∠DAB=90°
又因为:AC=AB,∠ACF=∠ABD
所以:RT△ACF≌RT△ABD
所以:BD=CF=2CE
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