在△ABC中,AB=AC=5,P是BC边上点B,C外的任意一点,则AP^2+PB*PC=?

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/14 20:05:32

在△ABC中,AB=AC=5,P是BC边上点B,C外的任意一点,则AP^2+PB*PC=?

证:过A作直线AE⊥BC交BC于E点,设P点在B、E两点之间,已知AB=AC=5,则BE=CE=(PB+PC)/2,
PE=BE-PB=(PB+PC)/2-PB=(PC-PB)/2
在直角△ACE和直角△AEP中,根据勾股定理,得下方程组:
AE^2 +CE^2 =AE^2 +(PB+PC)^2 /4=AC^2=25 .(1)
AE^2 +PE^2 =AE^2 +(PC-PB)^2/4=AP^2 .(2)
(1)-(2)得
(PB+PC)^2 /4-(PC-PB)^2/4=25-AP^2
PB*PC=25-AP^2
故AP^2+PB*PC=25
即AP*AP+PB*PC=25