1、已知函数f(x)=ax²+4x+b(ab>c)的图像上有两点A（m1,f（m1））、B（m2,f（m2））,且f（x）满足f（1）=0,a²+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）f（m2）=0（1）求证：b≥0（2）求证：f（x）的图像被x轴

1、已知函数f(x)=ax²+4x+b(ab>c)的图像上有两点A（m1,f（m1））、B（m2,f（m2））,且f（x）满足f（1）=0,a²+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）f（m2）=0
（1）求证：b≥0
（2）求证：f（x）的图像被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3）
（3）问：能否得出f（m1+3）、f（m2+3）中至少有一个为正数?请证明你的结论

1、(1)、设g(x)=f(x)-x=ax²+3x+b
由韦达定理：α+β=-3/a,αβ=b/a
|α-β|^2=(α+β)^2-4αβ=9/a^2-4b/a=1
即：a^2+4ab-9=0
(2)、要使a、b均为负整数,且|α-β|=1,则比满足：a^2+4ab=9
易知4ab>=4,可知a=-1,b=-2;
故：f(x)=-x²+4x-2
2、
证明：（1）、f(1)=a+b+c=0,可知：x=1是方程的一个根；
a²+[f（m1）+f（m2）]•a+f（m1）f（m2）=0
[a+f(m1)][a+f(m2)]=0
即：a=-f(m1)=-am1^2-bm1-c①,或a=-f(m2)=-am2^2-bm2-c②
讲①或②代入a+b+c=0整理得：b(m^2-m+1)+cm^2=0
易知：m^2-m+1恒大于0,m^2>=0;
又b>c;所以b>=0,当且仅当c=0时取等!
综上：b≥0.证毕!
(2)、设另一个根为m;由韦达定理：1+m=-b/a;m=c/a,
f（x）的图像被x轴所截得的线段长=|m-1|
又|m-1|^2=(1+m)^2-4m=(b/a)^2-4c/a=b^2/(b+c)^2+4c/(b+c)
=(b^2+4bc+4c^2)/(b+c)^2=(b+2c)^2/(b+c)^2
线段长=|m-1|=|(b+2c)/(b+c)|=|2-b/(b+c)|=2 ;当且仅当b=0时取等；
综上：f（x）的图像被x轴所截得的线段长的取值范围是[2,3）证毕!
(3)、能.
证明：m1,m2里必有一个为1,不妨令m1=1,
则：f(m1+3)=f(4)=16a+4b+c=15a+3b
因为a>b>=0;可知：15a+3b>0,15a+3b 恒为正数!
故f(m1+3)恒为正数!
即：f（m1+3）、f（m2+3）中至少有一个为正数,证毕!

1.
(1)
ax^2+4x+b=0
x1+x2=-4/a x1x2=b/a
ax^2+4x+b=x
ax^2+3x+b=0
α+β=-3/a αβ=b/a
|α-β|=1
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=9/a^2-4b/a=1
(16/a^2)*(9/16)-4b/a=1
9(x1+x2)^2-64x1x...

全部展开

1.
(1)
ax^2+4x+b=0
x1+x2=-4/a x1x2=b/a
ax^2+4x+b=x
ax^2+3x+b=0
α+β=-3/a αβ=b/a
|α-β|=1
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=9/a^2-4b/a=1
(16/a^2)*(9/16)-4b/a=1
9(x1+x2)^2-64x1x2-16=0
(2)
9/a^2-4b/a=1
a^2+4ab=9
a(a+4b)=9
a,b均为负整数，则a,a+4b均为负整数。且a+4b9=(-1)(-9)
a=-1
a+4b=-9 b=-2
a=-1 b=-2
f(x)的解析式为f(x)=-x^2+4x-2
2.

收起

晚上抽时间来回答。。

搞竞赛呀。。。

ax²+4x+b=x
ax^2+3x+b=0
所以α+β=-3/a αβ=b/a
|α-β|^2=(α+β)^2-4αβ
所以1=9/a^2-4b/a