已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)有两个相等的实数根.(1)求f(x)(2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?为什么?
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/05 15:38:45
已知函数f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,对任意实数x恒有f(1-x)=f(1+x)成立,方程f(x)有两个相等的实数根.
(1)求f(x)
(2)是否存在实数m,n,使函数f(x)在[m,n]上的值域为[3m,3n]?为什么?
f(x)=ax²+bx+c
∴f(0)=c=0,f(x)=ax²+bx
∵对于任意x有f(1-x)=f(1+x)
∴f(x)对称轴为x=1,即-b/2a=1,
∴b=-2a,f(x)=ax²-2ax
f(x)=ax²-2ax=x,ax²-(2a+1)x=0有两等根
△=(2a+1)²=0,∴a=-1/2,b=-2a=1
f(x)=-x²/2+x=-(x-1)²/2+1/2,是关于x的二次函数,开口向下,对称轴x=1
①nm,则n=0,m=-4
②m>=1,此时最大值为f(m),最小值为f(n)
∴f(m)=-m²/2+m=3n,f(n)=-n²/2+n=3m
两式相减得 (m²-n²)/2+(n-m)=3(m-n),即(m+n)(m-n)-2(m-n)=6(m-n)
∴m+n-2=6,m+n=8
代入解得 m²-8m+48=0,无解
③m
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a
判断二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
证明二次函数f(x)=ax2+bx+c(a
已知函数f(x)=x3次方+ax2次方+3bx+c(b
二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0), f(x)=ax2+bx+c(a
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