已知函数f(x)=x^2-40x,数列{an}的通项公式为an=n+68/n,当/f(an)-2011 /取得最小值时n的所有可能取值集合为?

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2022/12/03 23:39:49

已知函数f(x)=x^2-40x,数列{an}的通项公式为an=n+68/n,当/f(an)-2011 /取得最小值时
n的所有可能取值集合为?

先观察an的变化规律:
因为an=n+68/n,所以随着n从1开始不断增大,an会先从69开始减小直到最小值2×(68)^(1/2)≈16.5,然后不断增大直到正无穷
再看f(x)的变化规律:
因为f(x)=x^2-40x=(x-20)^2-400,即当x<20时,f(x)为减函数;当x=20时,f(x)取得最小值-400;当x>20时,f(x)为增函数
而要使/f(an)-2011 /取得最小值,则f(an)应尽可能地跟2011相等
令f(an)-2011 =0 解得an≈69.1,代入an=n+68/n解得n≈1或n≈68
所以当/f(an)-2011 /取得最小值时,n的所有可能取值集合为{1,68}