已知函数f(x)=x^4+(a-2)x^2+(5-a)对任意实数x恒为正值,求实数a的取值范围
来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/16 01:07:39
已知函数f(x)=x^4+(a-2)x^2+(5-a)对任意实数x恒为正值,求实数a的取值范围
f(x)=x^4+(a-2)x^2+(5-a)
设x^2=m 则m≥0
f(x)=g(m)=m^2+(a-2)m+(5-a)
=(m+a/2-1)^2+4-a^2/4
为开口向上的抛物线,对称轴m=1-a/2≥0 a≤2
所以
1.a≤2时 g(m)最小=g(1-a/2)=4-a^2/4
2.a≥2时,1-a/2≤0 g(m)单增 g(m)最小=g(0)=5-a
已知f(x)对任意实数x恒为正值
只要
1.a≤2时,g(1-a/2)>0即可
即4-a^2/4>0
a^2-16
设t=x²
原式=g(t) =t²+(a-2)t+(5-a)
=(t+(a-2)/2)²+5-a-(a-2)/2
对称轴为直线x=(a-2)/2
开口向上 最低点横坐标为(a-2)/2
分情况讨论
因为t>=0
所以 (a-2)/2<0时 g(0)>0
(a-2)/...
全部展开
设t=x²
原式=g(t) =t²+(a-2)t+(5-a)
=(t+(a-2)/2)²+5-a-(a-2)/2
对称轴为直线x=(a-2)/2
开口向上 最低点横坐标为(a-2)/2
分情况讨论
因为t>=0
所以 (a-2)/2<0时 g(0)>0
(a-2)/2>0时 5-a-(a-2)/2>0
(a-2)/2=0时 也恒成立
综合上述求解即可
希望对你有帮助 O(∩_∩)O
收起
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