过双曲线x^2-y^2/3=1的右焦点F作直线l交双曲线于M,N两点,且|MN|=6,则满足条件的直线l的条数为多少?希望有完整的答案,

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/05/07 15:22:05

过双曲线x^2-y^2/3=1的右焦点F作直线l交双曲线于M,N两点,且|MN|=6,则满足条件的直线l的条数为多少?
希望有完整的答案,

画图看大概三个!
①当k不存在时,L:x=3,此时|MN|=6,满足
②当k存在时,设L:y=k(x-3),M(x1,y1),N(x2,y2)
联立双曲线和直线,得:
x² - k²(x-3)²/3 = 1
(3-k²)x²+6k²x-9k²-3=0 ,k≠±√3
x1+x2=-6k²/(3-k²),x1x2= -(9k²+3)/(3-k²)
|MN|²=36
即:(x1-x2)²+(y1-y2)²=36
化简:
(x1-x2)²+[k(x1-3)-k(x2-3)]²=36
(x1-x2)²+k²(x1-x2)²=36
(1+k²)(x1-x2)²=36
(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2]=36
(1+k²) { [ -6k²/(3-k²) ]²+(9k²+3)/(3-k²)}=36
15k^4 - 29k² -24 =0
令k²=m,m≥0
15m²-29m-24=0
△>0,m1m2= -24/15<0
∴m1>0,m2<0(舍)
即k²=m1
k=±√m1,有2解
∴一共三条.

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