学帮网已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别（-1,0）（1,0）,且AC,BC所在直线的斜率之积为m（m≠0）,1）,求顶点C的轨迹,2）,当m=2时,记顶点C的轨迹为T,过点M（1,1）能否存在一条直线l,是l与曲线T交于E,F两
来源：学生作业学帮网 编辑：学帮网 时间：2024/04/29 09:31:43
已知△ABC的两个顶点A,B的坐标分别（-1,0）（1,0）,且AC,BC所在直线的斜率之积为m（m≠0）,
1）,求顶点C的轨迹,
2）,当m=2时,记顶点C的轨迹为T,过点M（1,1）能否存在一条直线l,是l与曲线T交于E,F两点,且M为线段EF的中点,若存在求直线l的方程,若不存在说明理由
(1) 以线段AB的中点为原点,AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设点C（x,y）
则 [y/(x+1)]·[y/(x-1)]=m
即 mx²－y²=m
∵A、B、C三点不共线,∴m≠0 , ∴方程可变为：x²－y²/m=1
当m<-1时,方程表示椭圆,焦点在x轴上
当-1
当m>0时,方程表示双曲线,焦点在x轴上（其中当m=1时,是等轴双曲线）
（2）∵m=2 >0
∴ C点轨迹为双曲线L：x²－y²/2=1 即2x²－y²=2
假设所求直线I 存在,设E（x1,y1) , F(x2,y2)
得方程组：2·x1²－y1²=2 ……①
2·x2²－y2²=2 ……②
x1+x2=2 ……③
y1+y2=2 ……④
①－②： 2·（x1＋x2)(x1－x2)－(y1+y2)(y1－y2)=0
③④代入：4（x1－x2)－2(y1－y2)=0
∴ (y1－y2)/(x1－x1)=2
即斜率K=2
∴ 满足条件的直线存在：y－1=2(x－1)
望笑纳