sinZ和cosZ在复平面内是无界函数.(Z=x+iy) 在复平面证无界,应该要考虑|cosZ|或者|sinZ|的关系吧。
来源:学生学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/05 15:40:47
sinZ和cosZ在复平面内是无界函数.(Z=x+iy)
在复平面证无界,应该要考虑|cosZ|或者|sinZ|的关系吧。
cosz=cos(x+iy)
=cosx*cosiy-sinx*siniy
=cosx*chy-isinxshy
于是 |cosz|=根号(cos^2xsh^y+sin^2xsh^2y)
=根号[(1-sin^2x)ch^2y+sin^2xsh^2y]
=根号[ch^2y-sin^2x(ch^2y-sin^2y)]
=根号(ch^2y-sin^2x) >=根号(ch^2y-1)
所以 |cosz|>=根号(ch^2y-1) =|shy|=|[e^y-e^(-y)]/2|
而上式右边当y->无穷时无限变大 可证明 cosz是无界的
e^iz=cos(z)+i*sin(z);e^-iz=cos(z)-i*sin(z);
所以sin(z)=(e^iz-e^-iz)/2i;取z=ia,(a为实数)a趋于无穷大时,sin(z)从y轴方向趋于无穷,故sin(z)无界;
同理,cos(z)=(e^iz+e^-iz)/2;同于上述取法z=i*a,cos(z)从x轴方向趋于无穷,故无界。
不知
sinz=sinxcosiy+cosxsiniy=sinx*(e^y+e^-y)/2+cosx*i*(e^y-e^-y)/2,因为e^y无界,所以是无界函数
cosz=cosxcosiy-sinxsiniy=cosx*(e^y+e^-y)/2-sinx*i*(e^y-e^-y)/2也是无界函数
附:cosix=(e^x+e^-x)/2 sinix=i*(e^x-e^-x)/2
sinZ和cosZ在复平面内是无界函数.(Z=x+iy) 在复平面证无界,应该要考虑|cosZ|或者|sinZ|的关系吧。
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