高中数学:关于直线与圆相切的一个问题已知圆C的方程为:(x-1)²+y²=1,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为多少?请说出答案,并写下解题思路和过程!谢谢!
高中数学:关于直线与圆相切的一个问题
已知圆C的方程为:(x-1)²+y²=1,若过点(3,0)的直线和圆C相切,则直线的斜率为多少?
请说出答案,并写下解题思路和过程!谢谢!
y-0=k(x-3)
kx-y-3k=0
圆心(1,0)到切线距离等于半径r=1
则|k-0-3k|/√(k²+1)=1
平方
4k²=k²+1
k²=3
k=-√3/3,k=√3/3
设过点(3,0)的直线方程为
y-0=k(x-3)
y=kx-3k
代入圆方程得(x-1)²+(kx-3k)²=1
x²-2x+1+k²x²-6k²x+9k²=1
(1+k²)x²-(2+6k²)x+9k²=0
因为相切,所以只有一解,用判别...
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设过点(3,0)的直线方程为
y-0=k(x-3)
y=kx-3k
代入圆方程得(x-1)²+(kx-3k)²=1
x²-2x+1+k²x²-6k²x+9k²=1
(1+k²)x²-(2+6k²)x+9k²=0
因为相切,所以只有一解,用判别式
△=b^2-4ac=0
(2+6k²)^2-4*(1+k²)*9k²=0
4+24k²+36k的4次方-36k²+36²的4次方=0
12k²=4
k²=1/3
k=√3/3或k=-√3/3
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①几何法:
作图,直线与圆相切有2条。设圆心O(0,0),P(3,0),切点为A,则
OA=1(半径),OP=2,
sin(角APO)=OA/OP=1/2,
即角APO=30°,k1=tan(180°-角APO)=tan(150°)=-√3/3
另一角为-30°,k2=tan(-150°)=√3/3
②代数法:
设由y=k(x-3),与(x-...
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①几何法:
作图,直线与圆相切有2条。设圆心O(0,0),P(3,0),切点为A,则
OA=1(半径),OP=2,
sin(角APO)=OA/OP=1/2,
即角APO=30°,k1=tan(180°-角APO)=tan(150°)=-√3/3
另一角为-30°,k2=tan(-150°)=√3/3
②代数法:
设由y=k(x-3),与(x-1)²+y²=1联立方程,使得△=0,
k=√3/3或 -√3/3
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根号下3/3 或 -根号下3/3
过程太长 给个思路:
由圆方程可知圆心为(1,0) r=1
可设切线方程为AX+BY+C=0 移项即为:y=(- A / B)*x-(C/B)[此处可看出所求斜率k即为- A / B]
带入点(3,0)可得AX+BY-3A=0
已知上式与圆心,用点到直线的距离公式可化简得A / B=根号下3/3 则k=- A / B...
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根号下3/3 或 -根号下3/3
过程太长 给个思路:
由圆方程可知圆心为(1,0) r=1
可设切线方程为AX+BY+C=0 移项即为:y=(- A / B)*x-(C/B)[此处可看出所求斜率k即为- A / B]
带入点(3,0)可得AX+BY-3A=0
已知上式与圆心,用点到直线的距离公式可化简得A / B=根号下3/3 则k=- A / B=-根号下3/3
画图可知此切线与圆有两个切点 因此k有正负两解。
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