已知函数f(x)=(a/(a^2-2))*(a^x-a^-x) 其中,a>0且a不等于1,在R上是增函数,求a的取值范围.

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/06/18 19:56:27

已知函数f(x)=(a/(a^2-2))*(a^x-a^-x) 其中,a>0且a不等于1,在R上是增函数,求a的取值范围.

f(x)=(a/(a^2-2))*(a^x-a^-x)
f'(x)=(a/(a^2-2))*[a^x+a^(-x)]lna>0 a>0 a不等于1
由于a^x+a^(-x)>>0所以只要:
alna/(a^2-2)>0
只需(a^2-2)/a * lna>0
a^2-2)/a>0 lna>0 or (a^2-2)/a0 or a(a-根号2)(a+根号2)1 or aE(0,根号2) or a根号2 or aE(0,1)

a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x...

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a^x-a^(-x)很容易证明是奇函数
奇函数在(-无穷大,0)与(0,+无穷大)上的单调性相同,所以只需讨论x>0时的情况
设x1>x2
分为3类讨论
1.0=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2<0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为减函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为增函数
2.1=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)<0,所以函数为减函数,不满足条件
3.√2=[a^x1-a^x2][1+1/a^(x1+x2)]
a^x1-a^x2>0,1+1/a^2(x1+x2)>0
所以a^x-a^(-x)为增函数,a/(a^2-2)>0,函数为增函数
综上
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