已知函数f(x)=(e^x)/(x^2-ax+1)1.求单调区间2.若不等式f(x)大于等于x,对于任意的x属于[0,a+1]恒成立

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/03/28 19:48:22

已知函数f(x)=(e^x)/(x^2-ax+1)1.求单调区间2.若不等式f(x)大于等于x,对于任意的x属于[0,a+1]恒成立

解1:
f(x)=(e^x)/(x²-ax+1)
f'(x)=[(e^x)'(x²-ax+1)-(e^x)(x²-ax+1)']/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1)-(e^x)(2x-a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1-2x+a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²
1、令:f'(x)>0,即:(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²>0
有:x²-(a+2)x+a+1>0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1>0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1>0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4>0
[x-(a+2)/2]²>(a/2)²
当a≥0时:
x-(a+2)/2>a/2、x-(a+2)/2<-a/2
解得:x>a+1、x<1
当a<0时:
x-(a+2)/2>-a/2、x-(a+2)/2<a/2
解得:x>1、x<a+1
2、令:f'(x)<0,即:(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²<0
有:x²-(a+2)x+a+1<0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1<0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1<0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4<0
[x-(a+2)/2]²<(a/2)²
当a≥0时:
-a/2<x-(a+2)/2<a/2
解得:1<x<a+1
当a<0时:
a/2<x-(a+2)/2<-a/2
解得:a+1<x<1
综上所述,所求单调区间为:
当a≥0时:
f(x)的单调增区间是:x∈(-∞,1)、x∈(a+1,∞)
f(x)的单调减区间是:x∈(1,a+1)
当a<0时:
f(x)的单调增区间是:x∈(-∞,a+1)、x∈(1,∞)
f(x)的单调减区间是:x∈(a+1,1).

解1:
f(x)=(e^x)/(x²-ax+1)
f'(x)=[(e^x)'(x²-ax+1)-(e^x)(x²-ax+1)']/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1)-(e^x)(2x-a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-a...

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解1:
f(x)=(e^x)/(x²-ax+1)
f'(x)=[(e^x)'(x²-ax+1)-(e^x)(x²-ax+1)']/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1)-(e^x)(2x-a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=[(e^x)(x²-ax+1-2x+a)]/(x²-ax+1)²
f'(x)=(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²
1、令:f'(x)>0,即:(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²>0
有:x²-(a+2)x+a+1>0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1>0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1>0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4>0
[x-(a+2)/2]²>(a/2)²
当a≥0时:
x-(a+2)/2>a/2、x-(a+2)/2<-a/2
解得:x>a+1、x<1
当a<0时:
x-(a+2)/2>-a/2、x-(a+2)/2<a/2
解得:x>1、x<a+1
2、令:f'(x)<0,即:(e^x)[x²-(a+2)x+a+1]/(x²-ax+1)²<0
有:x²-(a+2)x+a+1<0
x²-2×[(a+2)/2]x+[(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1<0
[x-(a+2)/2]²-[(a+2)/2]²+a+1<0
[x-(a+2)/2]²-[(a²+4a+4-4a-4)/4<0
[x-(a+2)/2]²<(a/2)²
当a≥0时:
-a/2<x-(a+2)/2<a/2
解得:1<x<a+1
当a<0时:
a/2<x-(a+2)/2<-a/2
解得:a+1<x<1
综上所述,所求单调区间为:
当a≥0时:
f(x)的单调增区间是:x∈(-∞,1)、x∈(a+1,∞)
f(x)的单调减区间是:x∈(1,a+1)
当a<0时:
f(x)的单调增区间是:x∈(-∞,a+1)、x∈(1,∞)
f(x)的单调减区间是:x∈(a+1,1)。

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