奶奶家的牵牛花开了,3朵3朵数余两朵,4朵4朵数余3朵,5朵5朵数余4朵.牵牛花最少开了几朵?

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2022/11/30 15:16:36

奶奶家的牵牛花开了,3朵3朵数余两朵,4朵4朵数余3朵,5朵5朵数余4朵.牵牛花最少开了几朵?

也就是说总数+1能被3,4,5整除,3*4*5=60,60-1=59

再多1朵,就能被3,4,5整除
3,4,5的最小公倍数为:3×4×5=60
所以牵牛花最少:60-1=59朵

14

59朵
3、4、5的最小公倍数是60.
60/3=19……3
60/4=14……4
60/5=13……5
所以3-1=2 4-1=3 5-1=4 所以 60-1=59

59朵
求出最小公倍数 由于总数是3'4'5的若干次倍且余2、3、4 分别比3.4.5少1
最小公倍60减1

59

3乘4乘5减1=59

再多1朵,就能被3,4,5整除
3,4,5的最小公倍数为:3×4×5=60
所以牵牛花最少:60-1=59朵

我们先来看一下 淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”
秦朝末年,楚汉相争。有一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是,韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出...

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我们先来看一下 淮安民间传说着一则故事——“韩信点兵”
秦朝末年,楚汉相争。有一次,韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场,楚军不敌,败退回营,汉军也死伤四五百人,于是,韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡,忽有后军来报,说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬,杀声震天。汉军本来已十分疲惫,这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶,见来敌不足五百骑,便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排,结果多出2名;接着命令士兵5人一排,结果多出3名;他又命令士兵7人一排,结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布:我军有1073名勇士,敌人不足五百,我们居高临下,以众击寡,一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅,这一来更认为韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动,鼓声喧天,汉军步步进逼,楚军乱作一团。交战不久,楚军大败而逃。
韩信带1500名兵士打仗,战死四五百人,站3人一排,多出2人;站5人一排,多出3人;站7人一排,多出2人。韩信马上说出人数:1073
先列出除以3余2的数:2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26…
再列出除以5余3的数:3, 8, 13, 18, 23, 28…
这两列数中,首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数,列出这一串数是8, 23, 38,…,再列出除以7余2的数 2, 9, 16, 23, 30…
就得出的最小数是23.
事实上,我们已把题目中三个条件合并成一个:被105除余23.
那么韩信点的兵在1000-1500之间,应该是105×10+23=1073人
到了明代,数学家程大位用诗歌概括了这一算法,他写道:
三人同行七十稀,五树梅花廿一枝,
七子团圆月正半,除百零五便得知。
这首诗的意思是:用3除所得的余数乘上70,加上用5除所得余数乘以21,再加上用7除所得的余数乘上15,结果大于105就减去105的倍数,这样就知道所求的数了。
在一千多年前的《孙子算经》中,有这样一道算术题:“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”按照今天的话来说:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2,求这个数。这样的问题,也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题,也就是初等数论中的解同余式。
例题:有一个数,除以3余2,除以4余1,问这个数除以12余几?
除以3余2的数有:2, 5, 8, 11,14, 17, 20, 23…
它们除以12的余数是:2,5,8,11,2,5,8,11…
除以4余1的数有:1, 5, 9, 13, 17, 21, 25, 29…
它们除以12的余数是:1, 5, 9, 1, 5, 9,….
一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中,只有5是共同的,因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下,不求被12除的余数,而是求这个数.很明显,满足条件的数是很多的,它是 5+12×整数,整数可以取0,1,2,…,无穷无尽.事实上,我们首先找出5后,注意到12是3与4的最小公倍数,再加上12的整数倍,就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2,除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件,我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并,就可找到答案.


中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题:「今有物,不知其数,三三数之,剩二,五五数之,剩三,七七数之,剩二,问物几何?」 答曰:「二十三」
术曰:「三三数剩一置几何?答曰:五乘七乘二得之一百四。
五五数剩一复置几何?答曰,三乘七得之二十一是也。
七七数剩一又置几何?答曰,三乘五得之十五是也。
三乘五乘七,又得一百零五。
则可知已,又三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得。」
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考,不过根据考证,著作年代不会在晋朝之后,以这个考证来说上面这种问题的解法,中国人发现得比西方早,所以这个问题的推广及其解法,被称为 中国剩余定理 。
最后我们来看看这个问题:
奶奶家的牵牛花开了,3朵3朵数余两朵,4朵4朵数余3朵,5朵5朵数余4朵。牵牛花最少开了几朵?
等同于 某数除以3余2,除以4余3,除以5余4.求这个数?
除以3余2的数有:2,5,8,11,14,17.......
除以4余3的数有:3,7,11,15,19........
首先出现的公共数是11,且3与4的最小公倍数为12,所以这个数应是11+12×整数,再列出这些数:11,33,47,59.....
再列出除以5余4的数:4,9,14,19,24,29,34,39,44,49,54,59......
发现相同的最小数为59,所以59即为所求的数

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