已知关于x的不等式2x-1>m(x^2-1) (1)是否存在实数m,使不等式对任意x属于R恒成立?并说明理由 (2)若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围 (3)若不等式在[2,3]上有解,求实数m的取值

来源:学生作业学帮网 编辑:学帮网 时间:2024/03/29 17:19:54

已知关于x的不等式2x-1>m(x^2-1) (1)是否存在实数m,使不等式对任意x属于R恒成立?
并说明理由 (2)若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围 (3)若不等式在[2,3]上有解,求实数m的取值范围

(一)若对于实数x不等式恒成立,求m的取值范围:


2x-1>m(x^2-1)


当x=-1时,-2-1>m(1-1),-3>0不成立
所以不存在实数m使对于实数x不等式恒成立
即m∈空集


(二)若对于m属于[-2,2]不等式恒成立,求实数x的取值范围:


2x-1>m(x^2-1)


首先,x=1时,2-1>0恒成立;x=-1时,-2-1>0恒不成立


如果x<-1,或x>1,则(2x-1)/(x^2-1)>m,
m∈[-2,2],
∴(2x-1)/(x^2-1)>2,x-1/2>x^2-1
x^2-x<1/2
(x-1/2)^2<3/4
-√3/2<x-1/2<√3/2
(1-√3)/2<x<(1+√3)/2
根据x<-1,或x>1解得:1<x<(1+√3)/2)


如果-1<x<1,则(2x-1)/(x^2-1)<m,
m∈[-2,2],
∴(2x-1)/(x^2-1)<-2,x-1/2>-x^2+1
x^2+x>3/2
(x+1/2)^2>7/4
x+1/2<-√7/2,或x+1/2>√7/2
x<-(√7+1)/2,或x>(√7-1)/2
根据-1<x<1解得:(√7-1)/2<x<1


综上,(√7-1)/2<x<(1+√3)/2


(3)